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clase 17 - 10 casos de factorización

FACTORIZACIÓN

La factorización (o factoreo) es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de multiplicación. Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

CASO 1: FACTOR COMÚN

Se divide en dos:

ü  Factor común monomio.

ü  Factor común polinomio.

1) Factor Común (Monomio).

Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección. 

Pasos para factorizar:

ü  Hallar la variable común con su menor exponente.

ü  Dividir la expresión dada entre el factor común encontrado.

EJEMPLO:   

a)                 Factorizar:         2a²x+2ax²-3ax =

 Se halla la variable común con menor exponente 

             ax

          Se divide la expresion dada entre el factor común encontrado

                 (2a+2x-3)

         Respuesta:     ax(2a+2x-3)

      

2) Factor Común   (Polinomio).

Pasos para factorizar:

ü  Se copia el factor común de los polinomios y se escribe como primer factor de la solución.

ü  Con los factores no comunes de los polinomios se forma el segundo factor de la solución.

EJEMPLO: 

Factorizar:       x(a+b) + m(a+b) =

  Factor común 

    (a+b)

  Factores no comunes 

    “x” y “m”  à (x+m)

  Respuesta:       (a+b)(x+m)

CASO 2: FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará más sencillo el resolver estos problemas.

EJEMPLO: 

Factorizar:     3ax+2by+2bx+6a+3ay+4b =

Se agrupan los términos que tienen factor común

     (3ax+6a+3ay) + (2by+2bx+4b)

Saca el factor común de cada grupo

     3a(x+2+y) + 2b(y+x+2)

Respuesta: (x+2+y) (3a+2b)

MONOMIO CUADRADO PERFECTO

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea, cuando es el producto de dos factores iguales.

Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe efectuar lo siguiente:

Se extrae la raiz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así fórmado, que es la raiz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado. 

EJEMPLO: 

Factorizar:     36+12m²+m⁴

Se extrae la raiz cuadrada al primero y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término

             6          +          m²

Se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado

Respuesta:          (6+m²)²

CASO 4:DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Si tenemos un binomio cuyos dos factores tengan raíces cuadradas se siguen los siguientes pasos para la creación de un trinomio cuadrado perfecto:

ü  Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos.

ü  Multiplico la suma de estas dos raíces, por su diferencia.

EJEMPLO: 

Factorizar:    25x²y⁴-121

 Se les extrae la raíz cuadrada a los dos términos.

5xy²         11

Multiplico la suma de estas dos raíces, por su diferencia.

Respuesta:       (5xy²+11) (5xy²-11)

CASO 5:  TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto.  Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.

Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso 4).

EJEMPLO: 

Factorizar:    4x⁴-29x²+25

“2x²”      “5”       = -2(2x²)(5)=    -20x²

                

              4x⁴-29x²+25

                   +9x²            -9x² .

               4x⁴-20x²+25-9x^{2            =}(4x⁴-20x²+25) -9x²

^{(fact. el trinomio cuadrado perfecto)                   =}(2x²-5)² -9x²

      ^{(fact. la diferencia de cuadrados)                  =}(2x²-5+3x)( 2x²-5-3x)

                                   ^{(Ordenando)                  =}(2x²+3x-5)( 2x²-3x-5)

CASO 6:TRINOMIO DE LA FORMA x²+bx+c

Debe cumplir las siguientes condiciones:

ü  El coeficiente del primer término es 1.

ü  El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

ü  El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

ü  El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una unidad cualquiera, positiva o negativa.

Reglas para factorizar un trinomio de esta forma:

1.      Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la raíz cuadrada del término.

2.      El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”, el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de “bx” y de “c”.

3.      Si los dos factores tienen signos iguales entonces se buscan dos números cuya suma sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, estos números son los segundos términos de los factores binomios.

4.      Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya diferencia sea igual que el valor absoluto del factor “b” de “bx”, y cuyo producto sea igual al valor absoluto del factor “c”, el mayor de estos números será el  segundo término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el  segundo término del segundo factor binomio.

 

EJEMPLO:

Factorizar:     x²+10x+21

Respuesta:            (x+7) (x+3)

CASO 7:TRINOMIO DE LA FORMA ax²+bx+c

Lo que los diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior es que el primer término tiene un coeficiente distinto de 1.

Procedimiento:

Descomponer el primer y el tercer término y multiplicar cruzado, si el resultado es el segundo término, poner cada fila en un parentesis.

EJEMPLO:

Factorizar:        20y²+y-1

4y               +1 = +5y

5y                -1 =  -4y

                             +y

Respuesta:    (4y-1)(5y+1)

CASO 8:CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Para reconocerlo se deben tomar en cuenta los siguientes puntos.

ü  Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra.

ü  Dos de sus términos, el 1º y el 4º, deben poseer raíz cúbica exacta.

ü  Que el segundo término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.

ü  Que el tercer término sea más el triplo de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último.

ü  Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos cantidades, si hay términos negativos el resultado es el cubo de la diferencia de dos cantidades.

Procedimiento:

Se saca la raíz cúbica del primer término, poner signo positivo, si todos son positivos. Signo negativo, si son intercalados, sacar la raíz cúbica del cuarto término, asociar entre parentesis y elevar al cubo

EJEMPLO:

Factorizar:        125a³+150a²b+60ab²+8b³

          Respuesta:                 (5a+2b)³

CASO 9:   SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

ü  La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de, el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

ü  La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de, el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

EJEMPLO: 

Factorizar:     27a^3-b³ 

(3a-b) (3a²+3ab+b²)

CASO 10:SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Procedimiento:

Ø  La suma de dos potencias con el mismo exponente n impar se descompone en la suma de las bases

Ø  Se multiplica por  un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes+ 1 y - 1 alternativamente.

v La diferencia de dos potencias con el mismo exponente n impar se descompone en la resta de las bases

v Se multiplica por  un polinomio homogéneo de grado n - 1 con coeficientes positivos.

EJEMPLO: 

Factorizar:     (m⁷-n⁷)

Respuesta:       (m-n)(m⁶+m⁵n+m⁴n²+m³n³+m²n⁴+mn⁵+n⁶)

Clase 16 - Matrices

En matemáticas, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Dadas las matrices:

Calcular:

A + B;     A − B;     A x B;     B x A;     A^t.

Clase 15 - Ecuaciones con radicales

Para resolver una ecuación que comprende radicales se efectúan los siguientes pasos: 
1. Se deja en uno de los miembros un solo radical, trasladando al otro miembro los demás términos. 
2. Se elevan al cuadrado, al cubo, etc. los dos miembros de la ecuación obtenida y se igualan entre si (depende del indice de la raíz involucrada).
3. Si la ecuación obtenida no contiene radicales se resuelve normalmente. Si por el contrario, contiene uno o mas radicales se repiten los pasos 1 y 2 hasta obtener una ecuación sin radicales. Luego se resuelve esta ultima ecuación.
4. Se sustituyen en la ecuación original los valores obtenidos en el paso anterior y se determinan las raíces extrañas. 
El proceso de liberar la ecuación de radicales se conoce con el nombre de racionalización de la ecuación.
Ejemplo 1.
Resolver: raiz cuadrada de x + 3  = 4

(raiz cuadrada de x + 3)2 = (4)2  elevando ambos terminos al cuadrado,

x+3=16 eliminando el radical con el cuadrado,
x - 3 =16-3 restando 3 a ambos lados de la ecuación, ´

x=13 posible solución.

Clase 14 - Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta representación gráfica es útil, porque la intersección de esta gráfica con el eje horizontal coinciden con las soluciones de la ecuación.

Clase 13 - Sistema de ecuaciones: Método de sustitución

Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución hay que seguir las siguientes fases:

  ·  Se despeja una de las incógnitas en una cualquiera de las ecuaciones.

  ·  Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de primer grado en una    incógnita que resulta de esta sustitución.

  ·  Una vez calculada la primera incógnita, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso.  

Ejercicos: 

  

* Despejamos x en la primera ecuación.

   

* Reemplazamos el valor de x en la segunda ecuación.

 

* Ahora reemplazamos el valor hallado de y en la primera ecuación para hallar el valor real de x.

    

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* Despejamos x en la primera ecuación.

  

* Reemplazamos x en la segunda ecuación para encontrar el valor de y.

 

* Reemplazamos y en la primera ecuación para hallar el valor de x.